Les fondements des mathématiques ne sont pas prouvés


Le philosophe et logicien Kurt Gödel a bouleversé notre conception des mathématiques et de la vérité.

  • En 1900, le mathématicien David Hilbert a défini 23 problèmes à résoudre pour le monde des mathématiques, dont le plus important était de prouver les mathématiques elles-mêmes.
  • Loin de résoudre le problème, Kurt Gödel a montré à quel point les axiomes des mathématiques sont sans fondement.
  • Le théorème de Gödel ne dévalorise pas les mathématiques mais révèle que certaines vérités sont indémontrables.

Tout est un peu fou en ce moment. Nous sommes noyés dans une mer de mensonges, de demi-vérités, de polarisation, de débats, d’arguments et d’incertitudes. Mais au moins il y a les maths, non ? Ce seul sanctuaire de vérité et de certitude. C’est l’épave algébrique à laquelle on peut s’accrocher, avant d’être emportés.

Eh bien … regardez ailleurs maintenant si vous aimez ça, parce que Kurt Gödel pourrait être sur le point de vous arracher même cela. Ses théorèmes d’incomplétude ont ébranlé les fondations de l’univers (mathématique). En fait, il a plutôt fait disparaître ces fondations.

Les problèmes mathématiques

Au début du 20e siècle, le célèbre mathématicien David Hilbert a énoncé 23 problèmes que le monde des mathématiques devait résoudre. Certains d’entre eux sont particulièrement ésotériques, mais les plus importants concernaient les questions de cohérence et de complétude des mathématiques. Hilbert détestait le fait que l’ensemble des mathématiques dépende de certains « axiomes » qui, eux-mêmes, n’étaient pas prouvés. Il ne voulait pas de détails, de paradoxes ou d’éléments non prouvés. Après tout, ce sont les mathématiques !

Gödel, cependant, a plutôt annulé tout cela.

Gödel aurait détesté ce que les postmodernes ont fait de son travail.

Pour comprendre comment, il faut d’abord savoir que les « axiomes » sont les énoncés que nous acceptons comme vrais avant de faire des mathématiques. Ils sont comme les lettres nécessaires pour former des mots. Par exemple, A + B = B + A est un axiome, comme toutes les fonctions de l’arithmétique, etc. En termes simples, les axiomes sont les éléments constitutifs des mathématiques. Ils sont aussi vrais pour Euclide, qui dessinait des carrés dans la poussière de la Grèce antique, que pour un adolescent de 15 ans qui fronce les sourcils devant des calculs.

Le problème est que ces axiomes ne sont pas prouvés. Ils sont vrais parce qu’ils fonctionnent toujours, et nous les observons comme étant vrais tout le temps. Mais ils ne sont pas prouvés.

Le défi de Gödel

Imaginez l’ensemble des mathématiques comme un énorme sac, dans lequel se trouvent toutes les choses possibles que les mathématiques peuvent faire. C’est un très grand sac, en effet. Ce que Gödel a prouvé, c’est que, premièrement, il existe dans ce sac un ensemble de choses qui ne peuvent être ni prouvées ni réfutées, comme les axiomes. Deuxièmement, il n’y a aucun moyen de prouver ces axiomes à partir de ce sac. Il est impossible pour les mathématiques, par elles-mêmes, de prouver leurs propres axiomes.

Il s’agit essentiellement d’un problème d’autoréférence. C’est un problème que l’on retrouve également dans le paradoxe de Russell sur les ensembles. Plus célèbre, le paradoxe du menteur imagine une phrase comme « Cette phrase est fausse ». Lorsque vous l’examinez de près, elle crée une circularité logique. Si la phrase est vraie, alors elle est fausse ; mais si elle est fausse, elle est vraie. C’est suffisant pour faire exploser le cerveau d’un robot.

Gödel a appliqué une logique similaire à l’ensemble du système des mathématiques. Il a pris la phrase « Cette proposition n’est pas prouvée » et l’a convertie en une proposition numérique sur les nombres (avec un système de code connu sous le nom de « numérotation de Gödel »). Il a découvert que cette proposition ne peut pas être prouvée dans ce système.

Allant encore plus loin, Gödel a conclu que dans chaque système suffisamment riche pour permettre l’arithmétique, il y aura une proposition qui ne pourra pas être prouvée par ses propres outils. Nous avons besoin d’une sorte de « méta-langage » pour prouver les règles selon lesquelles un système fonctionne. C’est un peu comme si nous ne pouvions pas voir nos propres yeux ou dessiner autour de la main qui tient le crayon.

Comment les postmodernistes ont fait de Gödel une arme

Gödel a été mal représenté, même de son vivant. Par exemple, certains philosophes postmodernes l’ont utilisé pour dire : « Il n’y a pas de vérité ! Même les mathématiques sont sans fondement ! » Ils voulaient montrer que tout était dénué de sens, et que la vérité se résumait à une opinion.

Mais ce n’est pas la question. Gödel a seulement montré que la vérité n’a pas toujours besoin d’être prouvée. Ce n’est, bien sûr, pas une mince affaire. Séparer la vérité et la prouvabilité, permettre des « vérités non prouvées », semble hautement contre-intuitif.

Gödel, lui-même, pensait qu’il existait des vérités objectives. Sa théorie ne faisait que montrer les limites des mathématiques, mais pas qu’elles étaient défectueuses de quelque manière que ce soit. Il aurait détesté ce que les postmodernistes ont fait de son œuvre.

Jonny Thomson enseigne la philosophie à Oxford. Il tient un compte Instagram populaire appelé Mini Philosophy (@philosophyminis). Son premier livre est Mini Philosophy: A Small Book of Big Ideas.

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Source : Big Think – traduit par Anguille sous roche


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