C’est la journée de Pi ! Mais n’oubliez pas ces autres nombres étonnants

Le 14 mars est célébré comme le jour de Pi parce que la date, lorsqu’elle est écrite 3/14, correspond au début de l’expansion décimale 3,14159… la constante mathématique la plus célèbre.

En soi, pi n’est qu’un simple nombre, un parmi d’innombrables autres compris entre 3 et 4. Ce qui le rend célèbre, c’est qu’il est intégré dans tous les cercles que vous voyez – la circonférence est égale à pi multiplié par le diamètre – sans parler d’une série d’autres contextes sans rapport avec la nature, de la distribution de la courbe en cloche à la relativité générale.

La véritable raison de célébrer la journée de Pi est que les mathématiques, qui sont un sujet purement abstrait, décrivent si bien notre univers. Mon livre, The Big Bang of Numbers, explore à quel point les mathématiques sont remarquablement ancrées dans notre réalité.

Les constantes mathématiques en sont peut-être la preuve la plus frappante : ces nombres rares, dont pi, qui sortent du lot en apparaissant si fréquemment – et souvent de manière inattendue – dans les phénomènes naturels et les équations qui s’y rapportent, que les mathématiciens comme moi les exaltent en leur attribuant des noms et des symboles spéciaux.

Quelles sont donc les autres constantes mathématiques qui méritent d’être célébrées ? Voici mes propositions pour commencer à remplir le reste du calendrier.

Le nombre d’or

Pour le mois de janvier, je propose le nombre d’or, phi. On dit que deux quantités sont dans ce rapport si la division de la plus grande par la plus petite donne la même réponse que la division de la somme des deux quantités par la plus grande. Phi est égal à 1,618…, et comme il n’y a pas de 61 janvier, nous pourrions le fêter le 6 janvier.

Calculé pour la première fois par Euclide, ce rapport a été popularisé par le mathématicien italien Luca Pacioli, qui a écrit en 1509 un livre vantant de manière extravagante ses propriétés esthétiques. Léonard de Vinci, qui a réalisé 60 dessins pour cet ouvrage, l’aurait intégré dans les dimensions des traits de la Joconde, ce qui, selon certains, serait à l’origine de sa beauté.

C’est un autre Italien, Fibonacci, qui a eu la première idée de l’existence de phi dans la nature en étudiant la façon dont les lapins se multiplient. Une hypothèse de reproduction courante était que chaque paire de lapins engendre une autre paire tous les mois.

En partant d’un seul couple de lapins, les populations successives suivront la séquence 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 et ainsi de suite – c’est-à-dire qu’elles seront multipliées par un “ratio de croissance” mensuel de 2.

Fibonacci a cependant observé que les lapins passaient le premier cycle à atteindre la maturité sexuelle et ne commençaient à se reproduire qu’ensuite. Une seule paire donne maintenant la nouvelle progression, plus lente, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… à la place.

Il s’agit de la célèbre séquence nommée d’après Fibonacci ; remarquez que chaque population s’avère être la somme de ses deux prédécesseurs.

Comment phi apparaît-il au milieu de tous ces lapins en goguette ? En progressant dans la séquence, on constate que chaque nombre est environ 1,6 fois plus grand que le précédent. En fait, ce ratio de croissance se rapproche de plus en plus de 1,618….

Par exemple, 21 équivaut à environ 1,615 fois 13, et 34 équivaut à environ 1,619 fois 21. Cela signifie que les lapins se reproduisent avec un ratio de croissance qui n’est plus de 2, mais qui se rapproche de plus en plus du ratio d’or.

Dans la réalité, il est peu probable que les lapins suivent cette règle à la lettre. En effet, ils ont la fâcheuse tendance à se faire manger par des prédateurs. Mais les nombres de Fibonacci (5, 8, 13, etc.) sont très présents dans la nature, comme le nombre de spirales que l’on peut voir dans une pomme de pin typique.

Et oui, phi lui-même fait quelques apparitions, notamment dans la façon dont les feuilles s’organisent autour d’une tige pour maximiser leur exposition à la lumière du soleil.

La constante “e”

Février nous offre une autre constante à succès, le nombre d’Euler e, qui a pour valeur 2,718…. Réservez donc la date du 7 février prochain pour la fête.

Pour comprendre e, imaginez que vous “doublez” à nouveau la croissance, mais maintenant en termes de “population” de dollars sur votre compte en banque. Par miracle, votre argent, dans cet exemple, vous rapporte 100 % d’intérêts, composés chaque année. Chaque dollar investi devient 2 dollars à la fin de l’année.

Supposons toutefois que les intérêts soient composés semestriellement. Dans ce cas, 50 % des intérêts sont crédités en milieu d’année, ce qui vous donne 1,50 $. À la fin de l’année, vous recevez les 50 % d’intérêts restants sur ces 1,50 $, soit 0,75 $, ce qui vous donne 2,25 $ (1,50 $ + 0,75 $).

Votre investissement est donc multiplié par 2,25 au lieu de 2.

Et si une guerre éclatait entre les banques, chacune proposant de composer le même taux d’intérêt de 100 % à des intervalles plus courts et plus fréquents ? Votre gain serait-il illimité ?

La réponse est non. Vous pourriez faire passer votre taux de croissance de 2 à environ 2,718 – plus précisément à e – mais pas plus. Bien que vous obteniez des crédits plus fréquents, leur rendement diminue progressivement.

À la fin du XVIIe siècle, la découverte du calcul a permis aux hommes de faire un bond en avant dans leur capacité à appréhender l’univers. Les mathématiques pouvaient désormais analyser tout ce qui changeait, ce qui étendait leur domaine à la plupart des phénomènes naturels.

La constante e est célèbre en raison de son rôle emblématique dans le calcul : elle s’avère être le facteur de croissance le plus naturel pour suivre le changement. Par conséquent, elle apparaît dans les lois décrivant de nombreux processus naturels, de la croissance démographique à la désintégration radioactive.

La constante mathématique suivante sur notre calendrier est pi, bien sûr, pour le mois de mars.

Mon candidat pour avril est la constante delta de Feigenbaum, qui est égale à 4,669… et qui mesure la vitesse à laquelle les processus de croissance se transforment en chaos.

J’attendrai que mon premier lot obtienne le statut de jour férié officiel avant d’aller plus loin – je serai heureux d’examiner les candidats que vous voudrez proposer.

Lire aussi : Les secrets de la suite de Fibonacci – Le nombre d’or trouvé dans la nature et le marché boursier

Source : The Conversation – Traduit par Anguille sous roche