La séquence de nombres préférée de Mère Nature – La suite de Fibonacci


Des pommes de pin aux tournesols, des coquilles de nautiles aux thrillers de Dan Brown, Dame Nature a une séquence de nombres préférée – la suite de Fibonacci.

suite de Fibonacci

La spirale des graines dans une pomme de pin, les fruits d’un ananas. Qu’ont-ils en commun ? Ils se conforment tous les deux à la suite de Fibonacci.

Comme tous ceux qui ont lu le thriller de Dan Brown The Da Vinci Code ou vu le film le savent, la suite de Fibonacci est une séquence de nombres créée en ajoutant deux entiers séquentiels ensemble, à partir de 0.

La séquence peut être décrite par l’équation :

Fn = Fn – 1 + Fn – 2,n > 1 alors,
F0 = 0F1 = 1 and F2 = F1 + F0 = 1.

La séquence de nombres composant la séquence de Fibonacci est : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Surnommée Fibonacci

La personne qui a apporté la suite de Fibonacci au public occidental est Leonardo Fibonacci, né vers 1170 et mort vers 1250 après J.-C. La séquence avait en fait été déduite par des mathématiciens indiens et arabes mille ans plus tôt.

En 1202, Fibonacci décrit la séquence dans son Liber Abaci (“livre de calcul”), qui a été conçu comme un guide de mathématiques pour les commerçants, afin qu’ils puissent calculer les profits et les pertes, et les soldes des prêts.

Dans Liber Abaci, Fibonacci a introduit la séquence avec un problème impliquant des lapins. Le problème commence avec un lapin mâle et une lapine. Au bout d’un mois, ils mûrissent et produisent une portée d’un lapin mâle et d’une femelle. Un mois plus tard, ces lapins se reproduisent et ont une portée d’un lapin mâle et une femelle, et ainsi de suite. La question posée par Léonard de Vinci était : combien de lapins auriez-vous après un an ? Il s’avère que la réponse est 144 – et la formule utilisée pour arriver à cette réponse est ce que l’on appelle maintenant la suite de Fibonacci.

Carrés et arcs

Au cours du 19e siècle, les mathématiciens ont commencé à examiner la suite de Fibonacci à nouveau, et ils se sont rendus compte que, si vous dessiniez des carrés des nombres de Fibonacci, puis que vous associez les côtés des carrés, le nouveau côté d’un carré plus grand se formait. Cela peut être répété indéfiniment.

Carrés de Fibonacci Source : Wikimedia Commons

Ils se sont alors rendu compte que si l’on dessinait des arcs circulaires reliant les coins opposés des carrés, on obtenait une spirale appelée spirale logarithmique. Cette spirale se retrouve dans de nombreux phénomènes naturels, comme la disposition des feuilles sur une tige ou des graines sur une pomme de pin.

Spirale de Fibonacci Source : Jahobr/Wikimedia Commons

Mais ce n’est pas tout. Les nombres de Fibonacci apparaissent dans toutes sortes d’endroits de la nature. Certaines fleurs ont 3, 5, 8 ou 13 pétales, où chaque pétale est placé pour permettre une exposition maximale à la lumière du Soleil. Les rangées de graines dans les tournesols et les pommes de pin s’ajoutent souvent aux nombres de Fibonacci, parce que c’est la manière la plus efficace d’emballer autant de graines que possible dans un petit espace.

Graines de tournesol Source : Anna Benczur/Wikimedia Commons

Le nombre d’or

Si vous divisez n’importe quel nombre de Fibonacci par celui qui le précède dans la séquence, vous obtenez un rapport d’environ 1,618033…, qui est appelé le nombre d’or. Au fur et à mesure que les nombres de Fibonacci augmentent, le ratio se rapproche encore plus de 1,618. Par exemple, le ratio de 3 à 5 est de 1,666, le ratio de 13 à 21 est de 1,625 et le ratio de 144 à 233 est de 1,618.

Segments de ligne du nombre d’or Source : Stannered/Wikimedia Commons

Le nombre d’or est obtenu en divisant une ligne en deux parties, a et b, de sorte que la partie la plus longue divisée par la partie la plus petite est également égale à la longueur totale divisée par la partie la plus longue. C’est à dire :

Équation du nombre d’or Source: Marcia Wendorf

La lettre grecque “phi” représente le nombre d’or, qui est aussi connue sous le nom de section dorée, proportion dorée ou encore divine proportion. C’est 1,6180339887…, un nombre irrationnel qui est également égal à la solution de l’équation quadratique :

x2 – x – 1 = 0, avec une valeur de

Équation du nombre d’or Source: Marcia Wendorf

Le rectangle d’or est un rectangle dont les côtés sont des nombres de Fibonacci, comme dans l’image ci-dessous. Par exemple, a = 8 et b = 5, de sorte que a + b = 13 et les rapports donnent : 1.61803398878749894948420… Le rectangle d’or est considéré comme l’une des formes géométriques les plus satisfaisantes visuellement, et il est couramment utilisé en art, notamment dans les peintures et sculptures Renaissance.

Rectangle d’or Source : Ahecht / Wikimedia Commons

Léonard de Vinci a utilisé le nombre d’or dans les proportions de sa “Dernière Cène”, dans son “Homme de Vitruve”, et dans la “Joconde”. Michel-Ange, Raphaël, Rembrandt, Georges Seurat et Salvador Dali ont également incorporé le nombre d’or dans leurs œuvres.

La nombre d’or peut peut-être même être vue dans la Grande Pyramide de Gizeh, où la longueur de chaque côté de la base de la pyramide est de 756 pieds, et sa hauteur est de 481 pieds. Le rapport de la base à la hauteur est d’environ 1,5717, ce qui est proche du nombre d’or.

Le sculpteur grec Phidias (500 av. J.-C. – 432 av. J.-C.) aurait appliqué phi à la conception des sculptures qu’il a créées pour le Parthénon. Platon (428 av. J.-C. – 347 av. J.-C.) célébra le nombre d’or, et Euclide (365 av. J.-C. – 300 av. J.-C.) le lia à la construction d’un pentagramme, une figure à cinq côtés.

Dans les années 1970, le physicien britannique Roger Penrose a inclus le nombre d’or dans ses pavages de Penrose, qui permettaient de paver les surfaces de manière symétrique. Dans les années 1980, on pensait que le phi était apparu sous forme de quasi-cristal, une forme de matière découverte à l’époque.

La beauté et le nautile

Des études ont montré que lorsque les sujets regardent une série de visages, ceux qu’ils jugent les plus attrayants ont des proportions de nombre d’or entre la largeur du visage et la largeur des yeux, du nez et des sourcils.

La spirale d’or se rencontre fréquemment chez les plantes, probablement parce que, pour que les plantes maximisent l’exposition de leurs feuilles au Soleil, elles ont besoin de les faire pousser à des angles non répétitifs. Le moyen le plus simple de le garantir est d’avoir une valeur irrationnelle pour le nombre de feuilles, et beaucoup des spirales que nous voyons dans la nature sont une conséquence de ce comportement. Les distributions suivent des spirales logarithmiques, la forme mathématique générale d’une spirale dorée.

Enfin, avez-vous déjà remarqué que les couvertures de nombreux manuels de mathématiques du secondaire affichent une coquille de nautile ? La coquille peut être décrite comme ayant une spirale qui se dilate selon le nombre d’or tous les 180 degrés. Bien qu’il ne s’agisse que d’une approximation, elle est souvent citée comme un signe de l’apparition du nombre d’or dans la nature, et c’est pourquoi elle est sur la couverture des manuels de mathématiques.

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Source : Interesting Engineering – Traduit par Anguille sous roche

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